Phân tích các phương pháp điểm trong (3) – Trung tuyến (central path)
Posted by Trần Quốc Long trên Tháng Tư 3, 2008
Trong bài này, ta xem xét một khái niệm quan trọng mà các phương pháp điểm trong đều trực tiếp hoặc gián tiếp sử dụng. Đó là khái niệm trung tuyến (central path). Trên thực tế, việc “dò đường” trong các thuật toán dò đường và dò đường kết hợp đối ngẫu chính là việc hướng các nghiệm chấp nhận được (các điểm trong) đi theo trung tuyến này.
Định nghĩa (trung tuyến): Cặp là điểm thuộc trung tuyến nếu tồn tại sao cho là điểm trong của bài toán QHTT và
với .
Tập gọi là trung tuyến của bài toán QHTT .
Nhận xét:
- Các điểm thuộc đường trung tuyến có tính chất
Nghĩa là khoảng cách đối ngẫu được chia đều cho tất cả các biến . Đây chính là lý do tại sao được gọi là trung tuyến.
- Ta biết khi tiến dần đến nghiệm tối ưu thì khoảng cách đối ngẫu . Nếu không được chia đều cho các biến thì sẽ có nào đó gần bằng 0. Khi đó nghiệm ở gần với biên của tập nghiệm chấp nhận được. Kết quả là hướng thay đổi không thể lớn được (trường hợp thuật toán giãn affine). Chính vì vậy, trong các phương pháp điểm trong, người ta có xu hướng giữ cho nghiệm ở gần trung tuyến .
- Ta đã biết, khi thì là nghiệm của hệ phương trình
Các kết quả dưới đây sẽ cho thấy xác định qua hệ phương trình này là duy nhất với mọi . Nghĩa là trung tuyến cũng được định nghĩa một cách duy nhất với mọi bài toán QHTT có chứa điểm trong.
Bổ đề 1: Nếu hai bài toán đều có điểm trong thì tập
bị chặn với mọi .
Ý nghĩa: nếu tồn tại điểm trong thì khoảng cách đối ngẫu bị chặn dẫn đến bị chặn.
Chứng minh: Giả sử là một điểm trong, tức là
.
Với mọi , ta có
do và . Suy ra
.
Vì nên
Nói cách khác, bị chặn.
Bổ đề 2: Nếu hai bài toán đều có điểm trong và đặt
với thì tồn tại sao cho
Lưu ý: Hàm là một dạng hàm phân cách mà ta đã biết.
Chứng minh: Ta có
Đặt thì
với .
Dễ thấy các tính chất của là
- là hàm lồi chặt trong miền xác định .
- và .
- Khi hoặc thì .
Vì thế ta có
Do tính chất 3 của , phải tồn tại sao cho
Theo bổ đề 1, tồn tại sao cho , suy ra
Vậy nếu đặt thì
.
Định lý (tính duy nhất của ): Nếu bài toán QHTT tồn tại điểm trong và thì
- Hàm là hàm lồi chặt trên tập
.
là tập các điểm trong của bài toán QHTT.
- Điểm trong là nghiệm của hệ phương trình
khi và chỉ khi chính là điểm cực tiểu của hàm trên . Vì thế xác định duy nhất.
Chứng minh (1): Với mọi ta có
với là một điểm trong nào đó (theo bổ đề 1). Ta có là các hàm lồi chặt. Hàm là hàm tuyến tính theo vì thế là hàm lồi chặt trên .
Chứng minh (2): Ta sẽ chứng minh có cực tiểu duy nhất trên . Thật vậy, theo bổ đề 2,
do , tức là bị chặn dưới trên .
Theo bổ đề 2, với mọi , tập
Ta thấy là một tập con đóng và bị chặn (compact) của nên đạt cực tiểu trên . Do , Ta có
Nhưng theo định nghĩa suy ra . Vậy đạt cực tiểu trên . Cực tiểu này là duy nhất vì là hàm lồi chặt trên .
Bây giờ ta sẽ chứng minh điểm cực tiểu của chính là nghiệm của hệ phương trình trên bằng cách chỉ ra điều kiện KKT của bài toán quy hoạch lồi
chính là hệ phương trình này. Thật vậy, điều kiện KKT của là tồn tại sao cho
Như vậy còn , suy ra
do . Thay , ta có
Suy ra,
,
nhân với , ta được
Ngược lại, khi hay thì ta có
suy ra tức là là cực tiểu của trên.
Bình luận về bài viết này