CS Study Fun – Khoa học máy tính

Learn & Enjoy …

Tập lồi (4) – Tính chất tôpô

Posted by Trần Quốc Long on Tháng Hai 11, 2008

Định nghĩa (điểm giới hạn): Điểm x là điểm giới hạn của tập X nếu có dãy \{x_i\}_{i=1}^\infty, x_i\in X hội tụ đến x.

Định nghĩa (tập đóng): Tập Xtập đóng nếu X chứa tất cả các điểm giới hạn của nó.

Ví dụ:

Tập hữu hạn, \mathbb{R}^n là tập đóng.
Tập \{x:Ax\leq b\} là tập đóng.
Tập \{y:y=Ax+b,x\leq a\} là tập đóng.

Định lý (giao và hợp tập đóng):

Giao của tập bất kì các tập đóng là tập đóng.
Hợp của tập hữu hạn các tập đóng là tập đóng.

Định nghĩa (bao đóng): Bao đóng của tập X có thể định nghĩa bằng các cách tương đương sau:

Là giao của các tập đóng chứa X.
Là tập hợp tất cả các điểm giới hạn củaX.

Kí hiệu bao đóng của X\mathrm{cl}X.
Định nghĩa (điểm trong): Điểm x là điểm trong của tập X nếu có hình cầu \mathrm{Ball}(x,r)\subset X, r>0.

Định nghĩa (tập mở): Tập X là tập mở nếu tất cả các điểm x\in X đều là điểm trong.

Ví dụ:

\mathbb{R}^n là tập mở.
Tập \{x:Ax<b\} là tập mở.
Tập \{y:y=Ax+b,x<a\} là tập mở.

Định lý (giao và hợp tập mở):

Giao của tập hữu hạn các tập mở là tập mở.
Hợp của tập bất kì các tập mở là tập mở.

Định nghĩa (phần trong): Phần trong của tập X có thể định nghĩa bằng các cách tương đương sau:

Là hợp của các tập mở chứa trong X.
Là tập hợp tất cả các điểm trong củaX.

Kí hiệu phần trong của X\mathrm{int}X.

Nhận xét:

Rõ ràng ta có quan hệ \mathrm{int}X\subset X\subset \mathrm{cl}X.
Biên của X là tập \partial X=\mathrm{cl}X\setminus \mathrm{int}X. Biên luôn là tập đóng.
Nếu \dim X<n thì \mathrm{int}X=\emptysetX không thể chứa bất cứ hình cầu nào do \dim \mathrm{Ball}(x,r)=n.

Định lý (tính lồi của bao đóng và phần trong): Nếu X lồi thì \mathrm{cl}X\mathrm{int}X lồi.

Chứng minh: Nếu x,y\in \mathrm{cl}X thì có các dãy \{x_i\}_{i=1}^\infty\rightarrow x, x_i\in X\{y_i\}_{i=1}^\infty\rightarrow y, y_i\in X. Dễ thấy dãy \{\lambda x_i+(1-\lambda)y_i\}_{i=1}^\infty\rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y. Tức là \mathrm{cl}X lồi.

Nếu x,y\in \mathrm{int}X thì có các hình cầu \mathrm{Ball}(x,r), \mathrm{Ball}(y,r)\subset X,r>0. Dễ thấy hình cầu \mathrm{Ball}(\lambda x+(1-\lambda)y,r)=\lambda\mathrm{Ball}(x,r)+(1-\lambda)\mathrm{Ball}(y,r) \subset X, tức là \lambda x+(1-\lambda)y là điểm trong của X. Vậy \mathrm{int}X lồi.

Định lý (tính trù mật của phần trong của tập lồi): Nếu X lồi và \mathrm{int}X\neq\emptyset thì

Với mọi x\in \mathrm{int}X,y\in \mathrm{cl}X, đoạn thẳng\left[x,y\right.)=\{\lambda x+(1-\lambda)y,0<\lambda\leq 1\}\subset\mathrm{int}X.
\mathrm{int}X trù mật trong \mathrm{cl}X, tức là mọi điểm x\in\mathrm{cl}X đều là điểm giới hạn của \mathrm{int}X.

Chứng minh (1): y\in \mathrm{cl}X tức là có dãy \{y_i\}_{i=1}^\infty\rightarrow y, y_i\in X. Xét tập

B_i=\lambda\mathrm{Ball}(x,r)+(1-\lambda)y_i =\{\lambda(x+d)+(1-\lambda)y_i, ||d||\leq r\}

= \{\lambda x+(1-\lambda)y_i+\lambda||d||, ||d||\leq r\}=\mathrm{Ball}(\lambda x+(1-\lambda)y_i,\lambda r)

X lồi nên B_i\subset X. Vì \{y_i\}_{i=1}^\infty\rightarrow y, y_i\in X nên \{z_i=x+(1-\lambda)y_i\}_{i=1}^\infty\rightarrow z=\lambda x+(1-\lambda)y. Nghĩa là bắt đầu từ i nào đó, ||z_i-z||\leq\frac{\lambda r}{2}, hay \mathrm{Ball}(z,\frac{\lambda r}{2})\subset \mathrm{Ball}(z_i,\lambda r)=B_i\subset X. Vậy z\in \mathrm{int}X.

Chứng minh (2): (2) là hệ quả của (1) vì với mọi điểm y\in \mathrm{cl}X, chọn một điểm bất kì x\in \mathrm{int}X (do \mathrm{int}X\neq\emptyset), ta có dãy
\{y_i=\frac{1}{i}x+\left(1-\frac{1}{i}\right)y\}_{i=1}^\infty\rightarrow y

đồng thời y_i\in  \mathrm{int}X do (1).

Nhận xét: Để tránh trường hợp \mathrm{int}X=\emptyset khi \dim X<n, người ta đưa ra khái niệm phần trong tương đối của X so với \mathrm{Aff}X. Lưu ý: \dim X=\dim\mathrm{Aff}X.

Định nghĩa (phần trong tương đối): Phần trong tương đối của X là tập
Y=\{x:\exists r>0,\forall y\in\mathrm{Aff}X, ||y-x||<r\Rightarrow y\in X\}

Kí hiệu phần trong tương đối của X\mathrm{rint}X.

Biên tương đối của X là tập \partial X=\mathrm{cl}X\setminus\mathrm{rint}X.

Định lý (phần trong tương đối trù mật trong bao đóng): Nếu X\neq\emptyset là tập lồi ta có

\mathrm{rint}X\neq\emptyset và lồi.
Với mọi x\in \mathrm{rint}X,y\in \mathrm{cl}X, đoạn thẳng\left[x,y\right.)=\{\lambda x+(1-\lambda)y,0<\lambda\leq 1\}\subset\mathrm{rint}X.
\mathrm{rint}X trù mật trong \mathrm{cl}X, tức là mọi điểm x\in\mathrm{cl}X đều là điểm giới hạn của \mathrm{rint}X.

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh \mathrm{rint}X\neq\emptyset, các kết luận khác chứng minh tương tự như định lý trên.

Nếu X=\{x\}=\mathrm{Aff}X, hay \dim\mathrm{Aff}X=0, rõ ràng \mathrm{rint}X=\{x\}\neq\emptyset.

Nếu \dim\mathrm{Aff}X=m>0, suy ra trong X phải có m+1 véctơ \{x_0,\ldots,x_m\} độc lập affine sao cho \mathrm{Aff}\{x_0,\ldots,x_m\}=\mathrm{Aff}X. Các véctơ này tạo thành các đỉnh của một đơn hình nằm trong X. Ta có
X\supset \displaystyle\Delta\{x_0,\ldots,x_m\}=\{x:x=\sum_{i=0}^m\lambda_i x_i,\lambda_i\geq 0,\sum_i\lambda_i=1\}
\displaystyle\supset \{x:x=\sum_{i=0}^m\lambda_i x_i,\lambda_i> 0,\sum_i\lambda_i<1\}=S.

Rõ ràng, S là tập mở (tương đối với \mathrm{Aff}X) nằm trong X, nghĩa là \mathrm{rint}X\neq\emptyset.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: