Tháng Mười Một 2009
T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 7
	1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Posts Tagged ‘empirical risk minimization’

Nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm (4) – Ước lượng kì vọng Rademacher, chiều VC

Đăng bởi tqlong on Tháng Bảy 7, 2009

Bài trước cho thấy mối quan hệ giữa $\displaystyle R(\widehat{f})$ và $\displaystyle R(f^*)$ liên quan đến kỳ vọng Rademacher $\displaystyle \mathcal{R}_n(L_{\mathcal{F}})$ của lớp hàm $\displaystyle L_{\mathcal{F}} = \{L(f(x),y), \forall f\in \mathcal{F}\}$ .

Định lý: Nếu $\displaystyle f(x)\in \{+1,-1\}$ và hàm lỗi $\displaystyle L(y',y)$ là hàm lỗi 0-1,

$\displaystyle L(y',y) = I(y=y') = (1-yy')/2$ ,

ta có $\displaystyle \mathcal{R}_n(L_{\mathcal{F}}) = \frac{1}{2} \mathcal{R}_n(\mathcal{F})$ .

Chứng minh: Theo định nghĩa

$\displaystyle \mathcal{R}_n(L_{\mathcal{F}}) = E_{X,Y,\epsilon}\left[\sup_{f \in \mathcal{F}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \epsilon_i\frac{1-Y_if(X_i)}{2} \right]$

$\displaystyle =\frac{1}{2} E_{X,Y,\epsilon}\left[\sup_{f \in \mathcal{F}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\epsilon_i Y_i) f(X_i)\right]$ (do $\displaystyle E[\epsilon_i] = 0$ )

$\displaystyle = \frac{1}{2} E_{X,\epsilon}\left[\sup_{f \in \mathcal{F}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \epsilon_i f(X_i)\right] = \frac{1}{2}\mathcal{R}_n(\mathcal{F})$ (do $\displaystyle \epsilon_i$ có cùng phân bố với $\displaystyle \epsilon_iY_i$ )

Nhận xét: Định lý cho phép liên hệ giữa kì vọng Rademacher của lớp hàm $\displaystyle L_{\mathcal{F}}$ và kì vọng Rademacher của $\displaystyle \mathcal{F}$ .

Nếu đặt $\displaystyle \Pi_{\mathcal{F}}(X) = \{(f(X_1), \ldots, f(X_n)|f\in \mathcal{F}\}\subset \{+1,-1\}^n$ là tập tất cả các khả năng phân lớp của lớp hàm $\displaystyle \mathcal{F}$ trên tập mẫu học $\displaystyle X_1,\ldots,X_n$ (Ta đã biết đây chính là khái niệm phá vỡ (shatter) đã giới thiệu trong bài này). Ta có

$\displaystyle \sup_{f \in \mathcal{F}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \epsilon_i f(X_i)=\sup_{a\in \Pi_{\mathcal{F}}(X)}\epsilon_i a_i$

tức là đại lượng này không phụ thuộc vào số lượng hàm trong $\displaystyle \mathcal{F}$ mà phụ thuộc vào việc lớp hàm này có thể phá vỡ (shatter) tập mẫu học $\displaystyle X_1,\ldots, X_n$ đến mức nào.

Để ước lượng $\displaystyle \mathcal{R}_n(\mathcal{F})$ ta có bổ đề sau:

Bổ đề lớp hữu hạn Massart (Massart’s finite class lemma): Cho $\displaystyle \mathcal{A}\subset \mathbb{R}^n$ là một tập hữu hạn, $\displaystyle \epsilon_1,\ldots,\epsilon_n$ là các biến ngẫu nhiên Rademacher, ta có

$\displaystyle E_\epsilon\left[\sup_{a\in \mathcal{A}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\epsilon_i a_i \right]\leq \frac{r\sqrt{2\log |\mathcal{A}|}}{n}$ .

trong đó $\displaystyle r = \max_{a\in \mathcal{A}}\|a\|$ .

Chứng minh: Xét đại lượng $\displaystyle R = E_\epsilon\left[\sup_{a\in \mathcal{A}}\sum_{i=1}^n\epsilon_i a_i \right]$ . Với mọi $\displaystyle s\in \mathbb{R}$ , ta có

$\displaystyle e^{s R}\leq E_\epsilon\left[\exp \left(\sup_{a\in \mathcal{A}}s\sum_{i=1}^n\epsilon_i a_i\right) \right]$ (bất đẳng thức Jensen, do hàm $\displaystyle e^x$ là hàm lồi)

$\displaystyle = E_\epsilon\left[\sup_{a\in \mathcal{A}}\exp \left(s\sum_{i=1}^n\epsilon_i a_i\right) \right]$ (do $\displaystyle e^x$ là hàm đồng biến)

$\displaystyle \leq E_\epsilon\left[\sum_{a\in \mathcal{A}}\exp \left(s\sum_{i=1}^n\epsilon_i a_i\right) \right]$ (do $\displaystyle e^x>0,\forall x$ )

$\displaystyle = \sum_{a\in \mathcal{A}}E_\epsilon\left[\exp \left(s\sum_{i=1}^n\epsilon_i a_i\right) \right]$ (do $\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ )

$\displaystyle = \sum_{a\in \mathcal{A}} \prod_{i=1}^n E_{\epsilon_i}\left[e^{s\epsilon_i a_i}\right]$ (do $\displaystyle \epsilon_1,\ldots,\epsilon_n$ độc lập)

$\displaystyle = \sum_{a\in \mathcal{A}} \prod_{i=1}^n \frac{e^{sa_i}+e^{-sa_i}}{2}$ (do $\displaystyle \epsilon_i$ là biến Rademacher)

$\displaystyle \leq \sum_{a\in \mathcal{A}} \prod_{i=1}^n e^{s^2a_i^2/2}$ (do $\displaystyle \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\leq e^{x^2/2}$ , tra Wikipedia để biết khai triển Taylor của hàm $\displaystyle \cosh(x)$ rồi so sánh với khai triển Taylor của $\displaystyle e^{x^2/2}$ )

$\displaystyle = \sum_{a\in \mathcal{A}} e^{s^2\|a\|^2/2} \leq |\mathcal{A}| e^{s^2r^2/2}$

Lấy loga cả hai vế ta được $\displaystyle R\leq \frac{\log|\mathcal{A}|}{s}+sr^2/2$ . Chọn $\displaystyle s$ để tối thiểu hóa vế phải ta được $\displaystyle s = \frac{\sqrt{2\log|\mathcal{A}|}}{r}$ và $\displaystyle R\leq r\sqrt{2\log|\mathcal{A}|}$ (đpcm).

Bổ đề Massart giúp ta ước lượng $\displaystyle \mathcal{R}_n(\mathcal{F})$ qua định lý sau

Định lý: Với lớp hàm phân lớp $\displaystyle \mathcal{F}$ mà $\displaystyle f(x)\in \{+1,-1\},\forall f\in \mathcal{F}$ và $\displaystyle G_{\mathcal{F}}(n)$ là hàm tăng trưởng (growth function) của $\displaystyle \mathcal{F}$ ta có

$\displaystyle \mathcal{R}_n(\mathcal{F})\leq \sqrt{\frac{2\log G_{\mathcal{F}}(n)}{n}}$ .

Chứng minh: Ta có

$\displaystyle \mathcal{R}_n(\mathcal{F}) = E_{X,\epsilon}\left[\sup_{f \in \mathcal{F}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \epsilon_i f(X_i)\right]$

$\displaystyle = E_X\left[E_\epsilon\left[\left.\sup_{f \in \mathcal{F}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \epsilon_i f(X_i)\right|X\right]\right]$

$\displaystyle \leq E_X\left[\frac{r_X\sqrt{2\log|\Pi_{\mathcal{F}}(X)|}}{n}\right]$

$\displaystyle \leq E_X\left[\sqrt{\frac{2\log G_{\mathcal{F}}(n)}{n}}\right] = \sqrt{\frac{2\log G_{\mathcal{F}}(n)}{n}}$ (do $\displaystyle r_X\leq \sqrt{n}$ và định nghĩa của hàm tăng trưởng (growth function))

Hệ quả: Nếu chiều VC của lớp hàm $\displaystyle \mathcal{F}$ hữu hạn thì $\displaystyle \mathcal{R}_n(\mathcal{F})=O\left(\sqrt{\frac{\log n}{n}}\right) \rightarrow 0$ khi $\displaystyle n\rightarrow\infty$ .

Chứng minh: Thật vậy, nếu chiều VC của lớp hàm $\displaystyle \mathcal{F}$ hữu hạn và bằng $\displaystyle d$ thì ta đã biết $\displaystyle G_{\mathcal{F}}(n)=O(n^d)$ hay $\displaystyle \log G_{\mathcal{F}}(n)=O(\log n)$ .

Nhận xét: Kết quả này chứng tỏ

Nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm khả thi vì $\displaystyle R(\widehat{f})\rightarrow R(f^*)$ với xác suất cao khi số mẫu học $\displaystyle n\rightarrow\infty$ do ta đã biết ở bài trước
$\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{R(\widehat{f})-R(f^ *)\leq 2\mathcal{R}_n(L_{\mathcal{F}})+ 2\sqrt{\frac{\log\frac{1}{\delta}}{2n}}\right\}\geq 1-2\delta$

nghĩa là rủi ro kì vọng của $\displaystyle \widehat{f}$ xấp xỉ rủi ro kì vọng thấp nhất có thể được với xác suất cao.
Ước lượng $\displaystyle \mathcal{R}_n(\mathcal{F})$ bị giới hạn bởi hàm tăng trưởng $\displaystyle G_{\mathcal{F}}(n)$ . Hàm tăng trưởng lại bị giới hạn bởi chiều VC. Vì vậy, chiều VC là một thuộc tính quan trọng cần xét đến khi học trên lớp hàm $\displaystyle \mathcal{F}$ . Ước lượng cận trên của chiều VC của một lớp hàm hoặc chỉ ra nó vô hạn sẽ giúp ta xác định có nên áp dụng nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm hoặc phải cẩn trọng khi áp dụng nguyên tắc này hay không.
Tại sao phải cẩn trọng khi áp dụng nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm (ERM) khi chiều VC vô hạn hoặc rất lớn ? Bởi vì khi một lớp hàm $\displaystyle \mathcal{F}$ có chiều VC vô hạn (hoặc rất lớn) có nghĩa là với mọi tập mẫu học (và mọi cách phân chia nó), luôn có một hàm phân lớp $\displaystyle \widehat{f}$ thuộc $\displaystyle \mathcal{F}$ thỏa mãn cách phân chia này. Nếu ta áp dụng ERM, ta sẽ tìm ra hàm $\displaystyle \widehat{f}$ chứ không phải hàm $\displaystyle f^*$ mà ta muốn (mặc dù rủi ro thực nghiệm (số lỗi) trên tập mẫu học bằng 0). Đây chính là hiện tượng học quá (overfitting) khi sử dụng các lớp hàm có khả năng biểu diễn mạnh (ví dụ: mạng nơron – neural network).

Đăng trong Học thống kê, Lý thuyết học máy | Tagged: Artificial Neural Networks, chiều VC, empirical risk minimization, ERM, finite class lemma, growth function, hàm tăng trưởng, học quá, massart, mạng nơron, overfitting, rademacher, shatter, tối thiểu rủi ro thực nghiệm, VC dimension | Leave a Comment »

Nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm (2) – Tập mẫu học giản lược

Đăng bởi tqlong on Tháng Sáu 27, 2009

Trong một số trường hợp, thuật toán học máy không cần xem xét toàn bộ tập mẫu học mà vẫn cho ra kết quả hàm phân lớp giống như khi thuật toán chạy trên toàn bộ tập mẫu học. Ví dụ, trong trường hợp perceptron, các mẫu học được sử dụng là các mẫu học bị phân lớp sai trong quá trình học. Trong trường hợp máy học sử dụng véc tơ hỗ trợ (SVM), các mẫu học cần thiết là các véctơ hỗ trợ. Trong bài này, ta sẽ đánh giá độ chính xác của các thuật toán học như vậy.

Để cho tiện, xét tập mẫu học $\displaystyle D =\{ (x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\}$ gồm $\displaystyle n$ mẫu học. Đặt $\displaystyle [n] = \{1,\ldots,n\}$ là tập tất cả các chỉ số. Nếu $\displaystyle I\subset [n]$ là một tập chỉ số nào đó, $\displaystyle I = \{i_1,\ldots,i_{n_I}\}$ , thì $\displaystyle D_I$ là các mẫu học $\displaystyle D_I = \{(x_{i_1}, y_{i_1}),\ldots,(x_{i_{n_I}}, y_{i_{n_I}})\}$ . Kí hiệu $\displaystyle -I = [n]\setminus I$ là tập các chỉ số không nằm trong $\displaystyle I$ .

Một thuật toán học $\displaystyle \mathcal{A}$ là một hàm từ tập mẫu học của nó đến một hàm phân lớp thuộc lớp hàm $\displaystyle \mathcal{F}$ , hay $\displaystyle \mathcal{A}(D)\in \mathcal{F}$ .

Định nghĩa (tập mẫu học giản lược): Xét $\displaystyle I\subset [n]$ , ta nói $\displaystyle D_I$ là tập mẫu học giản lược (compression set) của $\displaystyle D$ nếu

$\displaystyle \mathcal{A}(D_I) = \mathcal{A}(D)$

Gọi

$\displaystyle R(\mathcal{A}(D))$ là rủi ro kì vọng của thuật toán $\displaystyle \mathcal{A}$ sau khi học trên tập mẫu học $\displaystyle D$ .
$\displaystyle R(\mathcal{A}(D_I))$ là rủi ro kì vọng của thuật toán $\displaystyle \mathcal{A}$ sau khi học trên tập mẫu học $\displaystyle D_I$ (nếu $\displaystyle D_I$ giản lược thì $\displaystyle R(\mathcal{A}(D)) = R(\mathcal{A}(D_I))$ ).
$\displaystyle \widehat{R}_I(f) = \frac{1}{n_I}\sum_{i\in I} L(f(x_i), y_i)$ là rủi ro thực nghiệm của hàm $\displaystyle f$ trên tập mẫu học $\displaystyle D_I$ .

Ta thấy trong trường hợp Perceptron và SVM, nếu $\displaystyle D_I$ là tập mẫu học giản lược thì $\displaystyle \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0$ (số lỗi trên tập các mẫu học còn lại bằng 0). Trường hợp Perceptron, $\displaystyle -I$ là tập các mẫu học được phân lớp đúng. Trường hợp SVM, $\displaystyle -I$ là tập các mẫu học không phải là véctơ hỗ trợ. Ta có định lý sau ước lượng xác suất lỗi cho các trường hợp này.

Định lý (ước lượng xác suất cho tập mẫu học giản lược – compression bound): Xét trường hợp hàm lỗi bị chặn trong khoảng $\displaystyle [0,1]$ và thuật toán học máy $\displaystyle \mathcal{A}$ trên tập mẫu học $\displaystyle D$ . Với mọi tập mẫu học giản lược $\displaystyle D_I$ mà $\displaystyle \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0$ ta có

$\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{R(\mathcal{A}(D)) \leq \frac{1}{n-n_I}\left((n_I+1)\log n + \log \frac{1}{\delta}\right)\right\}\geq 1-\delta$

Định lý cho thấy nếu tập mẫu học có tập giản lược nhỏ thì rủi ro kì vọng càng nhỏ (theo nghĩa xác suất).

Chứng minh: Ta cần đánh giá xác suất để tồn tại một tập mẫu học $\displaystyle D_I$ là tập giản lược, đồng thời $\displaystyle \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0$ nhưng rủi ro kì vọng $\displaystyle R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon$ . Tức là

$\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{\exists I: D_I \textrm{ is a compression set } \wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}$

Quá trình ước lượng như sau: đầu tiên ta ước lượng xác suất với một tập giản lược cụ thể $\displaystyle I$ có kích cỡ $\displaystyle n_I$ . Sau đó dùng ước lượng xác suất tổng để ước lượng xác suất của một tập giản lược bất kì có kích cỡ $\displaystyle n_I$ . Sau đó tiếp tục dùng ước lượng xác suất tổng để ước lượng xác suất của một tập giản lược bất kì (có kích cỡ bất kì từ $\displaystyle 1$ đến $\displaystyle n$ ).

Bắt đầu, xét một tập $\displaystyle I$ có kích thước $\displaystyle n_I$ . Ta có

$\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{|I| = n_I\wedge D_I \textrm{ is a compression set } \wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}\leq \mathrm{Pr}\left\{|I| = n_I\wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}\leq (1-\epsilon)^{n-n_I}$

vì $\displaystyle \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I))=0$ nghĩa là $\displaystyle L(f_I(x_i), y_i)=0,\forall i\in -I$ (có $\displaystyle n-n_I$ phần tử) và bổ đề sau.

Bổ đề: Biến ngẫu nhiên $\displaystyle X\in [0,1]$ có $\displaystyle E[X]\geq\epsilon$ thì $\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{X=0\right\}\leq 1-\epsilon$ hay $\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{X>0\right\}\geq \epsilon$ .

Chứng minh bổ đề: $\displaystyle \epsilon\leq E[X]=\mathrm{Pr}\left\{X>0\right\}E[X|X>0]\leq \mathrm{Pr}\left\{X>0\right\}$ .

Áp dụng bổ đề, ta có $\displaystyle E[L(f_I(x_i), y_i)]=R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon$ , suy ra $\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{L(f_I(x_i), y_i)=0\right\}\leq 1-\epsilon$ và có tất cả $\displaystyle n-n_I$ mẫu học như vậy.

Tiếp tục, dùng ước lượng xác suất tổng, ta có

$\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{\exists I: |I| = n_I\wedge D_I \textrm{ is a compression set } \wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}$

$\displaystyle \leq \sum_{I\subset [n],|I|=n_I}\mathrm{Pr}\left\{|I| = n_I\wedge D_I \textrm{ is a compression set } \wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}$

$\displaystyle \leq \sum_{I\subset [n],|I|=n_I} (1-\epsilon)^{n-n_I}$

$\displaystyle \leq n^{n_I}(1-\epsilon)^{n-n_I}$

$\displaystyle \leq n^{n_I}e^{-(n-n_I)\epsilon}=\delta(n_I)$ do $\displaystyle 1-\epsilon\leq e^{-\epsilon}$ (khai triển Taylor của $\displaystyle e^x$ ).

Nếu chọn $\displaystyle \delta(n_I) = \delta/n$ thì $\displaystyle \epsilon = \frac{1}{n-n_I}\left((n_I+1)\log n + \log \frac{1}{\delta}\right)$ .

Tiếp tục áp dụng ước lượng xác suất tổng

$\displaystyle \mathrm{Pr}\left\{\exists I: D_I \textrm{ is a compression set } \wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}$

$\displaystyle \leq \sum_{n_I=1}^n \mathrm{Pr}\left\{\exists I: |I| = n_I\wedge D_I \textrm{ is a compression set } \wedge \widehat{R}_{-I}(\mathcal{A}(D_I)) = 0 \wedge R(\mathcal{A}(D_I))\geq\epsilon\right\}$

$\displaystyle \leq \sum_{n_I=1}^n\delta/n =\delta$ .

Ta có điều phải chứng minh.

Đăng trong Học thống kê, Lý thuyết học máy | Tagged: compression set, empirical risk minimization, máy phân lớp sử dụng véctơ hỗ trợ, perceptron, SVM, tập mẫu học giản lược, tối thiểu rủi ro thực nghiệm | Leave a Comment »

« Những bài viết trước

	Khuyen Nguyen trong bài Phân lớp bằng siêu phẳng (1) …
	tqlong trong bài Phân lớp bằng siêu phẳng (1) …
	Khuyen Nguyen trong bài Phân lớp bằng siêu phẳng (1) …
	tqlong trong bài Bất đẳng thức xác suất (1) …
	H.T.D. trong bài Bất đẳng thức xác suất (1) …

CS Study Fun – Khoa học máy tính

Learn & Enjoy …

Phân loại

Lưu trữ

Thống kê

Bài gần đây

Lời bình gần đây

Trang

Blogroll

Quản trị

Lịch

Theo dõi

Blog D.Q. Huy

Các phương pháp điểm trong

Xem nhiều nhất

Từ khóa

Posts Tagged ‘empirical risk minimization’

Nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm (4) – Ước lượng kì vọng Rademacher, chiều VC

Nguyên tắc tối thiểu hóa rủi ro thực nghiệm (2) – Tập mẫu học giản lược